Question

2．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2，AB=BC=1，Q为PD中点．
（Ⅰ）求证：PD⊥BQ；
（Ⅱ）求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴的空间直角坐标系，证明$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{BQ}$=0，即可证明PD⊥BQ；
（Ⅱ）求出平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又AD⊥AB，如图，建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴的空间直角坐标系．…（2分）
由已知，PA=AD=2，AB=BC=1，AD∥BC．
所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）…（4分）
又Q为PD中点，所以Q（0，1，1）．
所以$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{BQ}$=（-1，1，1），
所以$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{BQ}$=0，…（6分）
所以PD⊥BQ．…（7分）
（Ⅱ）解：设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则∵$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b-2c=0}\\{-a+b=0}\end{array}\right.$，…（9分）
令c=1，得a=b=1，∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．…（11分）
∵$\overrightarrow{BQ}$=（-1，1，1），
∴直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{-1+1+1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．…（14分）

点评 本题考查直线与直线垂直的证明，考查直线BQ与平面PCD所成角的正弦值的求法，正确运用向量法是解题的关键．