Question

15．如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，0是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，直线SA和AO所成角的大小是45°．
（Ⅰ）求证：直线SA∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角D-SB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OE，利用正方形的性质与三角形中位线定理可得：OE∥SA．再利用线面平行的判定定理可得：直线SA∥平面BDE；
（II）建立如图所示的空间直角坐标系，由∠SAO=45°．可得D$（0，-2\sqrt{2}，0）$，B$（0，2\sqrt{2}，0）$，S$（0，0，2\sqrt{2}）$，C$（-2\sqrt{2}，0，0）$．设平面SBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，1），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．取平面SBD的法向量为$\overrightarrow{OC}$，利用$cos＜\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：连接OE，
∵四边形ABCD是正方形，∴OC=OA，
又E是侧棱SC的中点，∴OE∥SA．
又SA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴直线SA∥平面BDE；
（II）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
∵∠SAO=45°．∴D$（0，-2\sqrt{2}，0）$，B$（0，2\sqrt{2}，0）$，S$（0，0，2\sqrt{2}）$，C$（-2\sqrt{2}，0，0）$．
$\overrightarrow{OC}$=$（-2\sqrt{2}，0，0）$，$\overrightarrow{BC}$=$（-2\sqrt{2}，-2\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{SB}$=$（0，2\sqrt{2}，-2\sqrt{2}）$．
设平面SBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，1），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}y-2\sqrt{2}=0}\\{-2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1）．
取平面SBD的法向量为$\overrightarrow{OC}$=$（-2\sqrt{2}，0，0）$．
$cos＜\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角D-SB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了三角形中位线定理、正方形的性质定理、线面平行的判定定理、向量与数量积的关系、法向量与空间角的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．