Question

14．已知圆C：x²+y²-8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0 圆C上任取一点M，过M做y轴的垂线，垂足为N，求MN的中点的轨迹方程．

Answer 1

分析 先给出点M，N的坐标，M，N是已知动点，Q是未知动点，用未知动点Q的坐标表示出已知动点M的坐标，然后代入已知圆的方程化简即可．

解答 解：由题意设M（x₀，y₀），则N（0，y₀），中点坐标为Q（x，y）．
则${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-8{y}_{0}+12=0$①．
又由已知得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}}{2}}\\{y={y}_{0}}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x}\\{{y}_{0}=y}\end{array}\right.$，
代入①化简后得：4x²+y²-8y+12=0．
故所求MN中点的方程为4x²+y²-8y+12=0．

点评 本题考查了与相关动点问题有关的轨迹方程的求法，一般是利用已知用所求点的坐标表示出已知点的坐标然后代入已知方程即可．