Question

2．如图，在三棱柱BCG-ADE中，四边形ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，AE=DE=2，FD=EF．
（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求二面角B-CF-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明BE∥平面ACF；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-CF-A的平面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接BD和AC交于O，连接OF，
∵O为BD的中点，F是DE的中点，
∴OF∥BE，
∵BE?平面ACF，CD?平面ACF；
∴BE∥平面ACF；
（Ⅱ）∵AE⊥平面CDE，CD?平面ACF，
∴AE⊥CD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD⊥AD，
∵AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE；
∴CD⊥平面DAE，
∵DE?平面DAE，
∴CD⊥DE，
故以D为原点，以DE为x轴，建立如图所示的坐标系，
则E（2，0，0），F（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0），
由AE=DE=2，得AD=2$\sqrt{2}$，CD=2$\sqrt{2}$，
故C（0，2$\sqrt{2}$，0），
由$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$=（2，2$\sqrt{2}$，2），
故B（2，2$\sqrt{2}$，2）．
设平面ACF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AC}$=（-2，2$\sqrt{2}$，-2），$\overrightarrow{CF}$=（1，-2$\sqrt{2}$，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2\sqrt{2}y-2z=0}\\{x-2\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则x=2$\sqrt{2}$，z=-$\sqrt{2}$，
即$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{2}$，1，-$\sqrt{2}$），
设平面BCF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，-2），$\overrightarrow{CF}$=（1，-2$\sqrt{2}$，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2x-2z=0}\\{x-2\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则x=2$\sqrt{2}$，z=-2$\sqrt{2}$，
即$\overrightarrow{n}$=（2$\sqrt{2}$，1，-2$\sqrt{2}$），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{8+1+4}{\sqrt{11}×\sqrt{17}}$=$\frac{13\sqrt{187}}{187}$
即二面角B-CF-A的平面角的余弦值为$\frac{13\sqrt{187}}{187}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．