Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，A为椭圆与y轴的一个交点，△ABC为椭圆的内接正三角形，则△ABC的边长为$\frac{72\sqrt{3}}{31}$．

Answer 1

分析 设正三角形ABC的边长为2a，顶点A是（0，2），并且且高在y轴上，即有B（-a，2-$\sqrt{3}$a），C（b，2-$\sqrt{3}$a），
再结合点B在椭圆上，代入椭圆方程，解关于a的方程，即可得到所求边长．

解答 解：设正三角形ABC的边长为2a，
顶点A是（0，2），并且且高在y轴上，
即有B（-a，2-$\sqrt{3}$a），C（b，2-$\sqrt{3}$a），
因为点B在椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，所以有$\frac{{a}^{2}}{9}$+$\frac{（2-\sqrt{3}a）^{2}}{4}$=1，
解得a=$\frac{36\sqrt{3}}{31}$，
即有2a=$\frac{72\sqrt{3}}{31}$．
故答案为：$\frac{72\sqrt{3}}{31}$．

点评 本题主要考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力与分析问题解决问题的能力，属于中档题．