Question

19．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，则AD与平面ACC₁A₁所成的角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• B． -$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$
• D． -$\frac{{\sqrt{10}}}{4}$

Answer 1

分析 根据题意画出图形，过B作BF⊥AC，过B₁作B₁E⊥A₁C₁，连接EF，过D作DG⊥EF，连接AG，证明DG⊥面AA₁C₁C，∠DAG=α，解直角三角形ADG即可．

解答 解：如图所示，过B作BF⊥AC，过B₁作B₁E⊥A₁C₁，连接EF，过D作DG⊥EF，连接AG，
在正三棱柱中，有B1E⊥AA₁C₁C，BF⊥面AA₁C₁C，
故DG⊥面AA₁C₁C，
∴∠DAG=α，可求得DG=BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
AG=$\sqrt{A{F}^{2}+F{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，AD=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{5}{4}}$=$\sqrt{2}$
故sinα=$\frac{\sqrt{6}}{4}$  
故选：A．

点评 考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题．