Question

20．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）求函数f（x）的减区间及对称轴；
（3）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），由周期公式可求函数f（x）的最小正周期，由2x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z可解得函数的对称中心．
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的减区间，由2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的对称轴．
（3）由x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，可得2x+$\frac{π}{4}$的范围，可求得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，即可解得函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2cos²x-1
=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
∴由2x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z可解得函数的对称中心是：（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{8}$，0），k∈Z，
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的减区间是：[kπ$+\frac{π}{8}$，k$π+\frac{5π}{8}$]，k∈Z，
由2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的对称轴为：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}$，k∈Z，
（3）∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
∴函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值是$\sqrt{2}$，最小值是-1．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．