Question

17．设M是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的一点，P，Q，T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．

Answer 1

分析 设相应点的坐标，由点在椭圆和和点差法可表示直线的斜率，进而可得直线QN和直线PT的方程，两方程联立可得x₁=2x，y₁=-2y，代入椭圆方程化简即可得到要求的方程．

解答 解：设点的坐标M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），（x₁y₁≠0），E（x，y），
由对称性可知P（-x₁，y₁），Q（-x₁，-y₁），T（x₁，-y₁），
由点M、N在椭圆上可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
两式相减整理可得$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=-$\frac{1}{3}$
结合斜率公式可得k_MN•k_QN=-$\frac{1}{3}$，
又MN⊥MQ，∴k_MN•k_MQ=-1，
∴k_MN=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，k_QN=$\frac{{y}_{1}}{3{x}_{1}}$，
∴直线QN的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{3{x}_{1}}$（x+x₁）-y₁，
直线PT的方程为y=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$x，
联合解得x₁=2x，y₁=-2y，
代入椭圆方程化简可得$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1（xy≠0），
∴动点E的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系，涉及轨迹方程的求解和代入消参数的方法，属难题．