Question

5．已知函数f（x）=$\frac{2-x}{x-1}$+aln（x-1）（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=2时，求证：1-$\frac{1}{x-1}$＜2ln（x-1）＜2x-4（x＞2）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，f′（x）≥0恒成立，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=2时，由（Ⅰ）知函数$f（x）=\frac{2-x}{x-1}+2ln（x-1）$在[2，+∞）上是增函数，f（x）＞f（2）；令g（x）=2x-4-2ln（x-1），确定单调性，g（x）＞g（2）=0，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：因为f（x）=$\frac{2-x}{x-1}$+aln（x-1），
所以f′（x）=$\frac{a（x-1）-1}{（x-1）^{2}}$…（1分），
若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，
即$a≥\frac{1}{x-1}$恒成立，所以$a≥{（\frac{1}{x-1}）_{max}}$．…（2分）
又x∈[2，+∞），则$0＜\frac{1}{x-1}≤1$，所以a≥1．…（4分）
（Ⅱ）证明：当a=2时，由（Ⅰ）知函数$f（x）=\frac{2-x}{x-1}+2ln（x-1）$在[2，+∞）上是增函数，…（5分）
所以当x＞2时，f（x）＞f（2），即$\frac{2-x}{x-1}+2ln（x-1）＞0$，则$2ln（x-1）＞\frac{x-2}{x-1}=1-\frac{1}{x-1}$．…（8分）
令g（x）=2x-4-2ln（x-1），则有${g^'}（x）=2-\frac{2}{x-1}=\frac{2（x-2）}{x-1}$，…（9分）
当x∈（2，+∞）时，有g′（x）＞0，因此g（x）=2x-4-2ln（x-1）在（2，+∞）上是增函数，
所以有g（x）＞g（2）=0，即可得到2x-4＞2ln（x-1）．…（11分）
综上有$1-\frac{1}{x-1}＜2ln（x-1）＜2x-4$（x＞2）．     …（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．