Question

4．已知面积为$\frac{9\sqrt{3}}{2}$的△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$若点D为BC边上的一点，且满足$\overrightarrow{CD}$=$2\overrightarrow{DB}$，则当AD取最小时，BD的长为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据三角形面积公式，余弦定理，基本不等式，求出满足条件时，三角形的三边长，可得答案．

解答 解：如图：△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$，点D为BC边上的一点，且满足$\overrightarrow{CD}$=$2\overrightarrow{DB}$，

则BD=$\frac{a}{3}$，CD=$\frac{2a}{3}$，
∵△ABC的面积为$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴bc=18，
由余弦定理得：a²=b²+c²-bc，
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
AD²=$\frac{{a}^{2}}{9}+{c}^{2}-2•\frac{a}{3}•c•cosB$
=$\frac{{a}^{2}}{9}+{c}^{2}-\frac{1}{3}（{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}）$
=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-bc}{9}+{c}^{2}-\frac{1}{3}（{b}^{2}+{c}^{2}-bc+{c}^{2}-{b}^{2}）$
=$\frac{1}{9}{（b}^{2}+4{c}^{2}-2bc）$≥$\frac{1}{9}（2\sqrt{{b}^{2}•4{c}^{2}}-2bc）$=$\frac{2}{9}bc$=4，
当且仅当b=2c=6时，取最小值，
此时a²=27，
故a=3$\sqrt{3}$，
BD=$\frac{a}{3}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$

点评 本题考查了三角形的面积公式、余弦定理，难度中档．