Question

1．已知函数f（x）=3e^|x|．若存在实数t∈[-1，+∞），使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m＞1，都有f（x+t）≤3ex，则m的最大值为3．

Answer 1

分析 由题意可得x+t≥0，f（x+t）≤3ex，等价于t≤1+lnx-x．原命题等价转化为：存在实数t∈[-1，+∞），使得不等式t≤1+lnx-x对任意x∈[1，m]恒成立．再利用导数求得h（x）=1+lnx-x的最小值为h（x）_min=h（m）=1+lnm-m，由此求得h（m）≥-1的最大整数m的值．

解答 解：当t∈[-1，+∞）且x∈[1，m]时，x+t≥0，
∴f（x+t）≤3ex可化为e^x+t≤ex，
即t≤1+lnx-x；
∴存在实数t∈[-1，+∞），使得不等式t≤1+lnx-x对任意x∈[1，m]恒成立；
令h（x）=1+lnx-x（1≤x≤m）；
∵h′（x）=$\frac{1}{x}$-1≤0，
∴函数h（x）在（0，+∞）为减函数；
又∵x∈[1，m]，
∴h（x）_min=h（m）=1+lnm-m．
∴要使得对x∈[1，m]，t值恒存在，只须1+lnm-m≥-1；
∵h（3）=ln3-2＞-1，h（4）=ln4-3＜-1；
且函数h（x）在（0，+∞）为减函数，
∴满足条件的最大整数m的值为3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查了函数的恒成立问题与存在性问题，利用导数研究函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．