Question

11．已知函数f（x）=|x-2|-3．
（Ⅰ）若f（x）＜0，求x的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求g（x）=3$\sqrt{x+4}+4\sqrt{|x-6|}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用绝对值不等式的解集，即可得到所求范围；
（Ⅱ）由柯西不等式，即可得到最大值，注意等号成立的条件．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）＜0?|x-2|＜3?-3＜x-2＜3?-1＜x＜5，
所以x的取值范围是（-1，5）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$g（x）=3\sqrt{x+4}+4\sqrt{6-x}$，
由柯西不等式可得，
（3²+4²）[（$\sqrt{x+4}$）²+（$\sqrt{6-x}$）²]≥（3$\sqrt{x+4}$+4$\sqrt{6-x}$）²，
所以g（x）≤$\sqrt{250}$=5$\sqrt{10}$．
当且仅当$\frac{{\sqrt{x+4}}}{3}=\frac{{\sqrt{6-x}}}{4}$即$x=-\frac{2}{5}$时，
g（x）取最大值5$\sqrt{10}$．

点评 本题考查绝对值函数的性质和运用，主要考查绝对值不等式的解法和柯西不等式的运用：求最值，注意等号成立的条件，属于中档题．