Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，有下列四个结论：
①函数f（x）在区间[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]上是增函数：
②点（$\frac{3π}{8}$，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；
③函数f（x）的图象可以由函数y=$\sqrt{2}$sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$得到；
④若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则函数f（x）的值域为[0，$\sqrt{2}$]．
则所有正确结论的序号是①②．

Answer 1

分析 画出函数的图象，①根据函数的单调性即可求出单调增区间；
②根据函数的对称中心即可求出函数f（x）的对称中心；
③根据函数图象的平移即可得到结论；
④根据函数单调性和定义域即可求出值域，进而得到正确结论的个数

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，画出函数的图象如图所示
∴函数f（x）的增区间为{x|-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈z}
即{x|-$\frac{3}{8}$π+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈z}，
∴区间[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]是函数f（x）一个增函数：故①正确，
∴函数f（x）图象的对称中心为2x+$\frac{π}{4}$=kπ，即x=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{8}$，
当k=1时，x=$\frac{3π}{8}$，
∴点（$\frac{3π}{8}$，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，故②正确，
对于③函数f（x）的图象可以由函数y=$\sqrt{2}$sin2x的图象向左平移$\frac{π}{8}$得到，故③错误；
对于④x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则函数f（x）的值域为[-1，$\sqrt{2}$]，故④错误．
故答案为：①②

点评 本题考查了正弦函数的单调性及对称性，同时要求学生掌握三角函数的有关性质（单调性，周期性，奇偶性，对称性等）．