Question

18．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是AB的中点，AB=2DC，E是PA的中点，F是△ACD的重心．
（I）求证：BC⊥平面PAC；
（II）求证：EF∥平面PBC．

Answer 1

分析 （I）利用线面垂直的判定定理，只要证明BC分别于PA，AC垂直即可；
（II）要证EF∥平面PBC，只要证平面EGD∥平面PBC，利用已知以及面面平行的判定定理，只要证明两个平面的两条相交直线分别平行即可．

解答 证明：（I）在△ABC中，D为AB边上的中点，且AB=2CD，
∴AD=DC=DB，故∠DCA=∠DAC，∠DCB=∠DBC，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，又PA⊥底面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAC；
（II）连接DF，并延长交AC于G，连接ED，
∵F为△ACD的重心，
∴G为AC的中点，连接EG，
∵E为PA中点，
∴在△PAC中，EG∥PC，
同理可得ED∥PB，
又EG∩ED=E，PC∩PB=P，
∴平面EGD∥平面PBC，
又EF?平面EDG
∴EF∥平面PBC．

点评 本题考查了线面垂直和面面平行的判定定理和性质定理的运用；关键是转化为线线关系进行证明．