Question

10．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，若曲线y（y-kx）=0与双曲线C有且仅有2个交点，则实数k的取值范围k≤-$\sqrt{2}$或k≥$\sqrt{2}$或k=0．

Answer 1

分析 利用双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，可得$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，根据曲线y（y-kx）=0与双曲线C有且仅有2个交点，可得实数k的取值范围．

解答 解：∵双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，
∵曲线y（y-kx）=0与双曲线C有且仅有2个交点，
∴k≤-$\sqrt{2}$或k≥$\sqrt{2}$或k=0．
故答案为：k≤-$\sqrt{2}$或k≥$\sqrt{2}$或k=0．

点评 本题考查双曲线的性质，考查实数k的取值范围，考查学生的计算能力，比较基础．