Question

1．设函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+2ax²-3a²x+b（0＜a＜1）
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）当x∈[a+1，a+2]时，恒有|f′（x）|≤a，试确定a的取值范围；
（Ⅲ）当a=$\frac{2}{3}$时，关于x的方程f（x）=0在区间[1，3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号确定原函数的单调性；
（Ⅱ）求出导函数的对称轴，利用导函数在[a+1，a+2]上是减函数，得到导函数的最大值和最小值．则要使当x∈[a+1，a+2]时，恒有|f′（x）|≤a，分a$≤\frac{1}{2}$和a$＞\frac{1}{2}$去绝对值，然后转化为关于a的不等式组求解a的范围；
（Ⅲ）把$a=\frac{2}{3}$代入原函数，利用导数求其极值，把方程f（x）在区间[1，3]上恒有两个相异的实根，转化为不等式组$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≤0}\\{f（2）＞0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$，求解不等式组得b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-a）（x-3a），
令f′（x）=0，得x=a或x=3a．
当x∈（-∞，a），（3a，+∞）时，f′（x）＜0；
当x∈（a，3a）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，a），（3a，+∞）上为减函数，在（a，3a）上为增函数；
（Ⅱ）f′（x）=-x²+4ax-3a²，其对称轴为x=2a，
∵0＜a＜1，∴2a＜a+1，
∴f′（x）在[a+1，a+2]上是减函数．
当x=a+1时，f′（x）取得最大值为2a-1；
当x=a+2时，f′（x）取得最小值为4a-4．
∴要使当x∈[a+1，a+2]时，恒有|f′（x）|≤a，
当a+1≥3a，即a$≤\frac{1}{2}$时，|f′（a+1）|=|2a-1|=1-2a，|f′（a+2）|=4-4a．
由$\left\{\begin{array}{l}{0＜a≤\frac{1}{2}}\\{1-2a≤a}\\{4-4a≤a}\end{array}\right.$，得a∈∅；
当a+1＜3a，即a$＞\frac{1}{2}$时，|f′（a+1）|=2a-1，|f′（a+2）|=4-4a．
由$\left\{\begin{array}{l}{1＞a＞\frac{1}{2}}\\{2a-1≤a}\\{4-4a≤a}\end{array}\right.$，得$\frac{4}{5}≤a＜1$．
∴$\frac{4}{5}≤a＜1$满足0＜a＜1．
故所求a的取值范围为$\frac{4}{5}≤a＜1$；
（Ⅲ）当$a=\frac{2}{3}$时，$f（x）=-\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{4}{3}{x}^{2}-\frac{4}{3}x+b$，
${f}^{′}（x）=-{x}^{2}+\frac{8}{3}x-\frac{4}{3}$，
由f′（x）=0得：$-{x}^{2}+\frac{8}{3}x-\frac{4}{3}=0$解得：x=2或x=$\frac{2}{3}$．
当x∈$（-∞，\frac{2}{3}），（2，+∞）$时，f′（x）＜0；
当x∈$（\frac{2}{3}，2）$时，f′（x）＞0．
∴f（x）在$（-∞，\frac{2}{3}），（2，+∞）$上为减函数，在$（\frac{2}{3}，2）$上为增函数．
∴要使方程f（x）在区间[1，3]上恒有两个相异的实根，则有$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≤0}\\{f（2）＞0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}+b≤0}\\{b＞0}\\{-1+b≤0}\end{array}\right.$，
解得：$0＜b≤\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，关键是掌握不等式恒成立的条件，是难度较大的题目．