Question

10．如图，一隧道由一个长方形和抛物线构成，现欲在隧道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置，若位置C对隧道底AB的张角最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C到AB的距离是6-$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，设C（x，y）（y＞-6），由A（-3，-6），B（3，-6），可得k_CA=$\frac{y+6}{x+3}$，k_CB=$\frac{y+6}{x-3}$，可得tan∠BCA，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x²=-2py（p＞0），
将点（4，-4）代入，可得p=2，
所以抛物线方程为x²=-4y，
设C（x，y）（y＞-6），则
由A（-3，-6），B（3，-6），可得k_CA=$\frac{y+6}{x+3}$，k_CB=$\frac{y+6}{x-3}$，
∴tan∠BCA=$\frac{\frac{y+6}{x+3}-\frac{y+6}{x-3}}{1+\frac{y+6}{x+3}•\frac{y+6}{x-3}}$=$\frac{-6（y+6）}{{x}^{2}-9+（y+6）^{2}}$
=$\frac{-6（y+6）}{{y}^{2}+8y+27}$，
令t=y+6（t＞0），则tan∠BCA=$\frac{-6t}{{t}^{2}-4t+15}$=$\frac{-6}{t+\frac{15}{t}-4}$≤$\frac{-6}{2\sqrt{15}-4}$，
所以t=$\sqrt{15}$，y=$\sqrt{15}$-6时，位置C对隧道底AB的张角最大，
故答案为：6-$\sqrt{15}$．

点评 本题考查抛物线的方程与应用，考查基本不等式，确定抛物线的方程及tan∠BCA，正确运用基本不等式是关键．