Question

20．已知函数f（x）=lnx-2x+3，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=$\frac{2t}{x}$-x+1，若g（x）＞f（x）对x＞0恒成立，求整数t的最小值．

Answer 1

分析 （1）求f′（x），根据导数符号即可求出函数f（x）的单调区间；
（2）将g（x），f（x）带入g（x）＞f（x）并整理可得$x+\frac{2t}{x}-lnx-2＞0$，可令h（x）=$x+\frac{2t}{x}-lnx-2$，根据题意h（1）＞0，从而得到t＞$\frac{1}{2}$．求h′（x），可求出h（x）的最小值h（$\frac{1+\sqrt{1+8t}}{2}$），从而可求出t=0时，x=1，f（1）＜0，而t=1时，x=2，h（2）＞2，这样即可判断出整数t的最小值．

解答 解：（1）$f′（x）=\frac{1}{x}-2=\frac{1-2x}{x}$；
∴$x∈（0，\frac{1}{2}）$时，f′（x）＞0；x$∈（\frac{1}{2}，+∞）$时，f′（x）＜0；
∴f（x）的单调增区间为（0，$\frac{1}{2}$]，单调减区间为$（\frac{1}{2}，+∞）$；
（2）由g（x）＞f（x）得：
$\frac{2t}{x}-x+1＞lnx-2x+3$；
整理得：$x+\frac{2t}{x}-lnx-2＞0$，令h（x）=$x+\frac{2t}{x}-lnx-2$，则：
h（1）=2t-1＞0，即$t＞\frac{1}{2}$；
h′（x）=$\frac{{x}^{2}-x-2t}{{x}^{2}}$，∴解h′（x）=0得${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{1+8t}}{2}＜0$，${x}_{2}=\frac{1+\sqrt{1+8t}}{2}＞0$；
∴x∈（0，x₂）时，h′（x）＜0，x∈（x₂，+∞）时，h′（x）＞0；
∴$h（\frac{1+\sqrt{1+8t}}{2}）$是h（x）的最小值；
∴t=0时，h（1）=-1＜0；t=1时，h（2）=1-ln2＞0，而t＞1时，$\frac{1+\sqrt{1+8t}}{2}＞2$；
∴整数t的最小值为1．

点评 考查根据导数符号找函数单调区间的方法，构造函数的解题方法，以及根据函数导数判断函数的单调性、求函数最值的方法与过程，函数单调性定义的运用．