Question

12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（α）=$\frac{3}{2}$，求sin（2α+$\frac{π}{6}}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由图可知A的值，由T=2[$\frac{2π}{3}-（-\frac{π}{3}）$]=2π，可求ω=$\frac{2π}{2π}$=1，又$f（\frac{2π}{3}）=2sin（\frac{2π}{3}+φ）=2$，且$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，即可求得φ的值，从而可求函数f（x）的解析式．
（2）由$f（α）=\frac{3}{2}$，得$sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{3}{4}$．从而由$sin（2α+\frac{π}{6}）=sin[{2（α-\frac{π}{6}）+\frac{π}{2}}]=cos[{2（α-\frac{π}{6}）}]$再根据二倍角公式即可求值．

解答 解：（1）由图可知，A=2，…2分
由T=2[$\frac{2π}{3}-（-\frac{π}{3}）$]=2π，故ω=$\frac{2π}{2π}$=1，所以，f（x）=2sin（x+φ）．…4分
又$f（\frac{2π}{3}）=2sin（\frac{2π}{3}+φ）=2$，且$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，故$φ=-\frac{π}{6}$．
于是，f（x）=$2sin（x-\frac{π}{6}）$．…7分
（2）由$f（α）=\frac{3}{2}$，得$sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{3}{4}$．…9分
所以，$sin（2α+\frac{π}{6}）=sin[{2（α-\frac{π}{6}）+\frac{π}{2}}]=cos[{2（α-\frac{π}{6}）}]$…12分
=$1-2{sin^2}（α-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{8}$．…14分．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，属于基本知识的考查．