Question

3．已知在△ABC中，C=$\frac{π}{4}$，cosB=$\frac{3}{5}$，AB=5，则sinA=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$；△ABC的面积为14．

Answer 1

分析 由C=$\frac{π}{4}$，cosB=$\frac{3}{5}$，可得sinC=cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．由正弦定理可得：$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$，可得b=$\frac{csinB}{sinC}$，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：∵C=$\frac{π}{4}$，cosB=$\frac{3}{5}$，
∴sinC=cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$．
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
由正弦定理可得：$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$，可得b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{5×\frac{4}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}×5×4\sqrt{2}$×$\frac{7\sqrt{2}}{10}$=14．
故答案分别为：$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，14．

点评 本题考查了正弦定理的应用、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．