Question

18．已知非零平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，则“$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线”是“$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$共线”的（　　）

• A． 充分而不必要条件
• B． 必要而不充分条件
• C． 充分必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 设出两个命题，利用充分必要条件的定义对p⇒q，q⇒p分别进行判断．

解答 解：设命题q：“$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线”，设命题“$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$共线”，
显然命题q成立时，命题p成立，所以q是P成立的充分条件；
当“$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$共线”时，根据共线的定义有$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=λ（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
则$λ\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}=λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}$，由于非零平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，所以λ≠±1，
那么$\overrightarrow{b}=\frac{λ-1}{λ+1}\overrightarrow{a}$，所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，所以q是p 必要条件；
综上可得，q是p的充要条件；
故选：C．

点评 本题考查了共线向量以及充分必要条件的判断，关键是判断条件与结论的关系．