Question

8．如图，矩形ABCD所在平面与三角形ECD所在平面相交于CD，AE⊥平面ECD．
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）若点M在线段AE上，AM=2ME，N为线段CD中点，求证：EN∥平面BDM．

Answer 1

分析 （1）证明AB⊥AE，AB⊥AD，利用直线与平面垂直的判定定理证明AB⊥平面ADE．
（2）连AN交BD于F点，连接FM，证明EN∥FM，利用直线与平面平行的判定定理证明EN∥平面BDM．

解答 证明：（1）∵AE⊥平面ECD，CD?平面ECD．
∴AE⊥CD． 又∵AB∥CD，∴AB⊥AE．…（2分）
在矩形ABCD中，AB⊥AD，…（4分）
∵AD∩AE=A，AD，AE?平面ADE，
∴AB⊥平面ADE．…（6分）
（2）连AN交BD于F点，连接FM，…（8分）
∵AB∥CD且AB=2DN，
∴AF=2FN，…（10分）
又AM=2ME∴EN∥FM，…（12分）
又EN?平面BDM，FM?平面BDM．
∴EN∥平面BDM．…（14分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理以及直线与平面垂直的判定定理的应用，考查逻辑推理能力．