Question

3．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面AB₁C₁，AA₁=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由等积法证明${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=3{V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，然后利用棱锥的体积公式求得答案．

解答 解：如图，连接B₁C，则${V}_{A-B{B}_{1}C}={V}_{A-{B}_{1}{C}_{1}C}$，
又${V}_{A-B{B}_{1}C}={V}_{{B}_{1}-ABC}={V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
∴${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=3{V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
∵AA₁⊥平面AB₁C₁，AA₁=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，
∴${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=3×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-1}×1=\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，是中档题．