Question

12．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m＞0），∠PQR=$\frac{π}{4}$，M为QR的中点，|PM|=$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求m的值及f（x）的解析式；
（Ⅱ）设∠PRQ=θ，求tanθ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得$\sqrt{（\frac{m}{2}-1）^{2}+（\frac{m}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，从而解得m的值，由图象可求T，由周期公式可求ω，把p（1，0）代入f（x），结合|φ|≤$\frac{π}{2}$，即可求得φ的值，把R（0，-4）代入f（x）=Asin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$），即可解得A的值，从而可求f（x）的解析式．
（Ⅱ）由∠ORP=$\frac{π}{4}$-θ，tan∠ORP=$\frac{OP}{OR}$，根据tan（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{1}{4}$即可解得tanθ的值．

解答 解：（Ⅰ）∵∠PQR=$\frac{π}{4}$，∴OQ=OR，∵Q（m，0），∴R（0，-m），…（1分）
又M为QR的中点，∴M（$\frac{m}{2}$，-$\frac{m}{2}$），又|PM|=$\sqrt{5}$，
$\sqrt{（\frac{m}{2}-1）^{2}+（\frac{m}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，m²-2m-8=0，m=4，m=-2（舍去），…（3分）
∴R（0，4），Q（4，0），$\frac{T}{2}$=3，T=6，$\frac{2π}{ω}$=6，$ω=\frac{π}{3}$，…（4分）
把p（1，0）代入f（x）=Asin（$\frac{π}{3}$x+φ），Asin（$\frac{π}{3}$+φ）=0，
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{3}$．…（5分）
把R（0，-4）代入f（x）=Asin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$），Asin（-$\frac{π}{3}$）=-4，A=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．…（6分）
f（x）的解析式为f（x）=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）．
所以m的值为4，f（x）的解析式为 f（x）=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）．…（7分）
（Ⅱ）在△OPR中，∠ORP=$\frac{π}{4}$-θ，tan∠ORP=$\frac{OP}{OR}$，
∴tan（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{1}{4}$，…（9分）
∴$\frac{1-tanθ}{1+tanθ}$=$\frac{1}{4}$，解得tanθ=$\frac{3}{5}$． …（12分）

点评 本题主要考查三角函数的图象与性质、同角三角函数关系、正余弦定理等解三角形基础知识；考查两点间距离公式、运算求解能力以及化归与转化思想．