Question

17．设F₁，F₂是双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F₁关于渐近线的对称点恰好落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 设点F₁关于渐近线的对称点为A，利用点F₁关于渐近线的对称点恰好落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆上，可得△OF₁A是等边三角形，求出$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：设点F₁关于渐近线的对称点为A，则由题意，
因为点F₁关于渐近线的对称点恰好落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆上，
所以△OF₁A是等边三角形，
所以${k}_{{F}_{1}A}$=-$\sqrt{3}$，
所以$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查直线的斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．