Question

7．直线ax+$\sqrt{2}$by=1与圆x²+y²=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据直线和圆的位置关系以及两点间的距离公式即可得到结论．

解答 解：∵△AOB是直角三角形（O是坐标原点），
∴圆心到直线ax+$\sqrt{2}$by=1的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即d=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+2{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理得a²+2b²=2，
则点P（a，b）与点Q（1，0）之间距离d=$\sqrt{（a-1）^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}（a-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．