Question

11．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=5+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+4sinθ．
（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；
（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与曲线C公共点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）由$y=5+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t$，得$\frac{{\sqrt{5}}}{5}t=y-5$，将其代入$x=2+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t$即可得出直线l的直角坐标方程．由ρ=2cosθ+4sinθ，得ρ²=2ρcosθ+4ρsinθ，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出曲线C的直角坐标方程．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}x-2y+8=0\\{x^2}+{y^2}-2x-4y=0\end{array}\right.$，解得交点坐标，化为极坐标即可．

解答 解：（1）由$y=5+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t$，得$\frac{{\sqrt{5}}}{5}t=y-5$，将其代入$x=2+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t$中得：x-2y+8=0，
∴直线l的直角坐标方程为x-2y+8=0．
由ρ=2cosθ+4sinθ，得ρ²=2ρcosθ+4ρsinθ，
∴x²+y²=2x+4y，即x²+y²-2x-4y=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-2x-4y=0．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}x-2y+8=0\\{x^2}+{y^2}-2x-4y=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=4\end{array}\right.$，
∴直线l与曲线C的公共点为（0，4），
∵θ∈（0，π），
∴直线l与曲线C公共点的极坐标为$（{4，\frac{π}{2}}）$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．