Question

6．已知三棱锥A-BCD满足棱AB，AC，AD两两互相垂直，且$|{BC}|=\sqrt{34}，|{CD}|=\sqrt{41}$，|BD|=5．则三棱锥A-BCD外接球的体积为$\frac{{125\sqrt{2}}}{3}π$．

Answer 1

分析 三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，转化为对角线长，即可求解外接球的体积．

解答 解：三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，
设长方体的三度为a，b，c由题意得：a²+b²=34，a²+c²=41，b²+c²=25，
解得：a²+b²+c²=50，
所以球的直径为：5$\sqrt{2}$
它的半径为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
球的体积为$\frac{4}{3}π•（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{3}$=$\frac{{125\sqrt{2}}}{3}π$．
故答案为：$\frac{{125\sqrt{2}}}{3}π$．

点评 本题是基础题，考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．