Question

16．已知函数f（x）=x²+ax+1，若存在x₀使|f（x₀）|≤$\frac{1}{4}$，|f（x₀+1）|≤$\frac{1}{4}$同时成立，则实数a的取值范围为[-$\sqrt{6}$，-2]∪[2，$\sqrt{6}$]．

Answer 1

分析 求出二次函数的最值，考察f（x）=x²+h，当h=0，-$\frac{1}{2}$时，有|f（-$\frac{1}{2}$）|≤$\frac{1}{4}$，|f（-$\frac{1}{2}$+1）|≤$\frac{1}{4}$同时成立，令-$\frac{1}{2}≤$$\frac{4-{a}^{2}}{4}$≤0，解不等式即可得到．

解答 解：由f（x）=（x+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{4-{a}^{2}}{4}$，
考察f（x）=x²+h，当h=0时，有|f（-$\frac{1}{2}$）|≤$\frac{1}{4}$，|f（-$\frac{1}{2}$+1）|≤$\frac{1}{4}$同时成立；
当h=-$\frac{1}{2}$时，有|f（-$\frac{1}{2}$）|≤$\frac{1}{4}$，|f（-$\frac{1}{2}$+1）|≤$\frac{1}{4}$同时成立．
所以-$\frac{1}{2}≤$h≤0即-$\frac{1}{2}≤$$\frac{4-{a}^{2}}{4}$≤0，
解得-$\sqrt{6}$≤a≤-2或2≤a≤$\sqrt{6}$．
故答案为：[-$\sqrt{6}$，-2]∪[2，$\sqrt{6}$]．

点评 本题考查二次函数的性质和运用，主要考查二次函数的最值，同时考查二次不等式的解法，属于中档题．