Question

8．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为$\frac{4}{9}$，乙、丙应聘成功的概率均为$\frac{t}{3}$（0＜t＜3），且三人是否应聘成功是相互独立的．
（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是$\frac{16}{81}$，求t的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，求ξ的数学期望．

Answer 1

分析 （I）利用相互独立事件概率计算公式可得：$\frac{4}{9}×\frac{t}{3}×\frac{t}{3}=\frac{16}{81}$，解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为$\frac{2}{3}$．ξ可取0，1，2．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式、数学期望计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依题意$\frac{4}{9}×\frac{t}{3}×\frac{t}{3}=\frac{16}{81}$，
∴t=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为$\frac{2}{3}$．
ξ可取0，1，2．
$P（ξ=2）=\frac{4}{9}•\frac{2}{3}=\frac{8}{27}$，
$P（ξ=1）=\frac{4}{9}•\frac{1}{3}+\frac{5}{9}•\frac{2}{3}=\frac{14}{27}$，$P（ξ=0）=\frac{5}{9}•\frac{1}{3}=\frac{5}{27}$，
∴$Eξ=2×\frac{8}{27}+1×\frac{14}{27}+0×\frac{5}{27}=\frac{30}{27}=\frac{10}{9}$．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．