Question

12．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足$2\sqrt{S_n}={a_n}+1$，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₁、a₂的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}（{a_n}+3）}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：${T_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出数列的前两项，推出$\sqrt{S_n}-\sqrt{{S_{n-1}}}=1$，得到$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$是以1为首项1为公差的等差数列．然后求解a_n=2n-1，n∈N^*．
（2）利用裂项法求出数列的和，即可证明结果．

解答 解：（1）当n=1时，$2\sqrt{a_1}={a_1}+1$，又a₁＞0，则a₁=1．
同理求得a₂=3，．…（2分）
由$2\sqrt{S_n}={a_n}+1$，n≥2时，$2\sqrt{S_n}={S_n}-{S_{n-1}}+1$，即${（{\sqrt{S_n}-1}）^2}={S_{n-1}}$，又a_n＞0易知$\sqrt{S_n}-1＞0$，则$\sqrt{S_n}-1=\sqrt{{S_{n-1}}}$，即$\sqrt{S_n}-\sqrt{{S_{n-1}}}=1$，所以$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$是以1为首项1为公差的等差数列．
所以$\sqrt{S_n}=n$，代入$2\sqrt{S_n}={a_n}+1$得a_n=2n-1，n∈N^*．…（6分）
（2）由（1）知a_n=2n-1，
所以${b_n}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+2}）}}＜$$\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}$=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，…（9分）
则${T_n}＜\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）＜\frac{1}{2}$．
所以${T_n}＜\frac{1}{2}$．…（13分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力．