椭圆的一个顶点为M.焦点在x轴上.若右焦点到直线x-y+1=0的距离为$\sqrt{2}$．(1)求椭圆C的方程,(2)设n是过原点的直线.直线l与n垂直相交于点P且与椭圆相交于A.B两点.|$\overrightarrow{OP}$|=1.是否存在上述直线l使$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=1成立?若存在.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．椭圆的一个顶点为M（0，$\sqrt{3}$），焦点在x轴上，若右焦点到直线x-y+1=0的距离为$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设n是过原点的直线，直线l与n垂直相交于点P且与椭圆相交于A、B两点，|$\overrightarrow{OP}$|=1，是否存在上述直线l使$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

分析（1）设出椭圆方程，可得b=3，运用点到直线的距离公式，计算可得c=1，再由a，b，c的关系可得a，进而得到椭圆方程；
（2）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．假设使$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=1成立的直线l存在．①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且|$\overrightarrow{OP}$|=1．得m²=k²+1．解方程即可得到不存在，②当l垂直于x轴时，则n为x轴，P点坐标为（1，0），A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$）．符合题意的直线l不存在．

解答解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
则b=$\sqrt{3}$，设右焦点F（c，0），
则d=$\frac{|c+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得c=1，
则a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
假设使$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=1成立的直线l存在．
①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，
由l与n垂直相交于P点且|$\overrightarrow{OP}$|=1．
得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=k²+1．①
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$=1，|$\overrightarrow{OP}$|=1．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{PA}$）•（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{PB}$）
=${\overrightarrow{OP}}^{2}$+$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{PB}$=1-1+0=0，
即有$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
即x₁x₂+y₁y₂=0．
将y=kx+m代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∵l与C有两个交点，
k≠0，x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．②
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（1+k²）x₁x₂+km （x₁+x₂）+m²=0．③
将②代入③得（1+k²）•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+km•$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$+m²=0．
化简，得7m²=12（1+k²）．④
∵|$\overrightarrow{OP}$|=1，
∴m≠0
由①、④得，m=0不成立．
②当l垂直于x轴时，
则n为x轴，P点坐标为（1，0），A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$）．
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（0，-$\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{9}{4}$≠1，不合题意．
综上，不存在上述直线l使$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=1成立．

点评本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的焦点和顶点，以及椭圆方程和直线方程联立，运用韦达定理，和平面向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题和易错题．

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