Question

16．设P是直线x+y-4=0上的一个动点，过P作圆x²+y²=1的切线，切点为A，则切线PA长的最小值为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 设直线x+y-4=0为直线MQ，过圆心O作OP垂直于直线MQ，过P作圆的切线，此时PA最短，先由圆心O及直线MQ的方程，利用点到直线的距离公式求出|OP|的长，再由圆的半径，利用勾股定理求出|PA|的长，即为所求的最小值．

解答 解：设直线2x+4y+8=0为直线MQ，过圆心O作OP⊥直线MQ，连接OA，
由PA为圆O的切线，得到OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∵x²+y²=1，∴圆心O坐标为（0，0），半径|OA|=1，
∴圆心O到直线x+y-4=0的距离|OP|=$\frac{|0+0-4|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△OAP中，根据勾股定理得：|AP|=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-1}$=$\sqrt{7}$．
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的切线性质，勾股定理，点到直线的距离公式，解题的关键是过圆心作已知直线的垂线，过垂足作圆的切线，得到此时的切线长最短．