Question

6．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角为120°，则|$\overrightarrow{a}$|的取值范围是（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，由已知$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角为120°可得∠ABC=60°，由正弦定理$\frac{|\overrightarrow{a}|}{sinC}$=$\frac{|\overrightarrow{b}|}{sin60°}$得|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，从而可求|$\overrightarrow{a}$|的取值范围

解答 解：设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，
如图所示：
则由$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$
又∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角为120°，
∴∠ABC=60°
又由|$\overline{AC}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1
由正弦定理$\frac{|\overrightarrow{a}|}{sinC}$=$\frac{|\overrightarrow{b}|}{sin60°}$得|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∴|$\overrightarrow{a}$|∈（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]
故答案为：$（0，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}]$．

点评 本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题．