Question

1．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}=1（a＞\sqrt{3}）$的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F（c，0），点P是椭圆C上异于A，B的动点，过点B作椭圆C的切线l，直线AP与直线l的交点为D，且当|BD|=2$\sqrt{2}$c时，|AF|=|DF|．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当点P运动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题可知A（-a，0）、$D（{a，2\sqrt{2}c}）$，通过|AF|=|FD|化简得a=2c，结合a²=3+c²得a²=4，进而可得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-2，0），B（2，0），设直线AP的方程为y=k（x+2），（k≠0）．设点P的坐标为（x₀，y₀），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，结合韦达定理及点F（1，0），分$k=±\frac{1}{2}$、$k≠±\frac{1}{2}$两种情况讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）依题可知A（-a，0）、$D（{a，2\sqrt{2}c}）$，
由|AF|=|FD|，得$a+c=\sqrt{{{（{a-c}）}^2}+8{c^2}}$，
化简得a=2c，由a²=3+c²得 a²=4，
故所求椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-2，0），B（2，0），在点B处的切线方程为x=2．
结论：以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：
由题意可知直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为y=k（x+2），（k≠0）．
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）． 
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+16k²x+16k²-12=0．
设点P的坐标为（x₀，y₀），
由韦达定理：$-2{x_0}=\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．
所以${x_0}=\frac{{6-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${y_0}=k（{x_0}+2）=\frac{12k}{{3+4{k^2}}}$．
因为点F坐标为（1，0），分情况讨论：
（1）当$k=±\frac{1}{2}$时，点P的坐标为$（1，±\frac{3}{2}）$，直线PF的方程为x=1，点D的坐标为（2，±2）．
此时以BD为直径的圆（x-2）²+（y?1）²=1与直线PF相切；
（2）当$k≠±\frac{1}{2}$时，直线PF的斜率${k_{PF}}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}$．
所以直线PF的方程为$y=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}（x-1）$，即$x-\frac{{1-4{k^2}}}{4k}y-1=0$．
故点E到直线PF的距离d=$\frac{|2-\frac{1-4{k}^{2}}{4k}×2k-1|}{\sqrt{1+（\frac{1-4{k}^{2}}{4k}）^{2}}}$=$\frac{\frac{1+4{k}^{2}}{2}}{\sqrt{（\frac{1+4{k}^{2}}{4k}）^{2}}}$=|2k|；
综上所述，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及到中点坐标公式、韦达定理、点到直线的距离公式等知识，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．