Question

4．若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为（　　）
①f（x）=0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”；
②f（x）=2x+1不是“λ～特征函数”；
③“$\frac{1}{3}$λ～特征函数”至少有一个零点；
④f（x）=e^x是一个“λ～特征函数”．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用新定义“λ～特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案

解答 解：对于①，设f（x）=C是一个“λ～特征函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ～特征函数”，故①不正确；
对于②，∵f（x）=2x+1，∴f（x+λ）+λf（x）=2（x+λ）+1+λ（2x+1）=0，即2（λ+1）x=-2λ-λ，∴当λ=-1时，f（x+λ）+λf（x）=-2≠0；λ≠-1时，f（x+λ）+λf（x）=0有唯一解，∴不存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，∴f（x）=2x+1不是“λ～特征函数”，故②正确；
对于③，令x=0，得f（$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{3}$f（0）=0，所以f（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{1}{3}$f（0），
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（$\frac{1}{3}$）•f（0）=-$\frac{1}{3}$[f（0）]²＜0．
又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上必有实数根．因此任意的“λ～特征函数”必有根，即任意“$\frac{1}{3}$λ～特征函数”至少有一个零点，
故③正确．
对于④，假设f（x）=e^x是一个“λ～特征函数”，则e^x+λ+λe^x=0对任意实数x成立，则有e^λ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=e^x是“λ～特征函数”，故④正确
故结论正确的是②③④，
故选：C

点评 本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ～特征函数的概念是关键，属于中档题