Question

20．数列{a_n}满足a_n-2a_n-1=2ⁿ（n∈N^*，n≥2），且a₁=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{{2}^{n}}{（n+1）{a}_{n}}$，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n-2a_n-1=2ⁿ变形得数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项和公差均为1的等差数列，计算即可；
（2）通过拆项得b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即可．

解答 （1）解：∵a_n-2a_n-1=2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{2{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$=1，
即$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
又∵a₁=2，∴$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项和公差均为1的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，∴a_n=n•2ⁿ；
（2）证明：b_n=$\frac{{2}^{n}}{（n+1）{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n}}{（n+1）•n•{2}^{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

点评 本题考查数列的递推公式，考查求等差数列的通项，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．