Question

8．函数f（x）=cos2x+4cosx的值域为[-3，5]．

Answer 1

分析 f（x）=cos2x+4cosx（x∈R）⇒f（x）=4cosx+2cos²x-1，利用配方法结合y=cosx的值域即可求得函数f（x）的值域．

解答 解：∵f（x）=cos2x+4cosx=4cosx+2cos²x-1=2（cosx+1）²-3，
又-1≤cosx≤1，
∴当cosx=1时，f（x）_max=2×4-3=5，
当cosx=-1时，f（x）_min=-3；
故函数f（x）=cos2x+4cosx（x∈R）的值域是[-3，5]．
故答案为：[-3，5]．

点评 本题考查三角函数的最值与复合三角函数的单调性，难点在于求复合函数f（x）=2（cosx+1）²-3的最值，着重考查转化思想，属于中档题．