Question

13．设函数f（x）=（2x+a）ⁿ，其中n=6${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx，$\frac{f′（0）}{f（0）}$=-12，则f（x）的展开式中x⁴的系数是（　　）

• A． -240
• B． 240
• C． -60
• D． 60

Answer 1

分析 利用定积分基本定理可求得n，利用$\frac{f′（0）}{f（0）}$=-12，求出a，再利用二项式定理可求得f（x）展开式中x⁴的系数．

解答 解：∵n=6${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=6sinx${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=6，
∴f（x）=（2x+a）⁶，
∴f（0）=a⁶，f′（0）=12a⁵，
∵$\frac{f′（0）}{f（0）}$=-12，
∴a=-1
∴f（x）=（2x-1）⁶展开式中x⁴的系数为：${C}_{6}^{2}$•2⁴•（-1）²=15×16=240．
故选：B．

点评 本题考查二项式定理，考查定积分，求得n是关键，属于中档题．