Question

4．已知f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）是R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点，且点B的坐标为（2，0），若函数f（x）在[-2，0]和[5，7]上均为单调函数，且f（x）在[-2，0]和[5，7]上的单调性相同，在[0，3]和[5，7]上的单调性相反．
（1）求实数c的值，并用a、b表示d；
（2）证明：曲线y=f（x）上不存在点M，使曲线在点M处的切线与直线x+3by+a=0垂直．

Answer 1

分析 （1）由函数极值点定义解得f′（0）=0．（2）假设存在 若求不出x的值即证明假设不成立，从而得到原结论成立．

解答 解：（1）由已知得f′（x）=3ax²+2bx+c，因为f（x）在[-2，0]和[0，3]上有相反的单调性，
所以x=0是f（x）的一个极值点，∴f′（0）=0，∴c=0，
将B（2，0）代入f（x）=ax³+bx²+d，得：d=-8a-4b；
（2）∵c=0，∴f′（x）=3ax²+2bx，
令f′（x）=0，得：3ax²+2bx=0，解得：x₁=0，x₂=-$\frac{2b}{3a}$，
因为f（x）在[0，3]和[5，7]上有相反单调性，
∴2≤-$\frac{2b}{3a}$≤5，即-$\frac{15}{2}$≤x≤-3，
假设存在点M（x₀，y₀），使曲线在点M处的切线与直线x+3by+a=0垂直，
即使得f（x）在点M处的切线斜率为3b，则f′（x₀）=3b，
即3a${{x}_{0}}^{2}$+2bx₀-3b=0，∴△=4ab（$\frac{b}{a}$+9），
∵-$\frac{15}{2}$≤$\frac{b}{a}$≤-3，∴ab＜0，$\frac{b}{a}$+9＞0，
∴△＜0，方程无解，
故不存在点M（x₀，y₀），使得f（x）在点M处的切线与直线x+3by+a=0垂直．

点评 第一问较简单．第二问进一步考查极值点和 一元二次方程根存在问题，本题是一道中档题．