Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线x+y=$\frac{\sqrt{6}}{2}$与圆E：x²+y²=b²相交于M、N两点，O为原点，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l₁：x=1与C交于A、B，直线l₂：y=kx+m与圆E相切，且l₂与线段AB相交，与椭圆C交于P、Q两点，求四边形APBQ的面积最大值．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式向量的数量积的定义，结合余弦定理，可得b=1，再由a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；
（2）通过直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，判别式大于0，结合直线和圆相切的条件：d=r，求得k，m的关系，再由基本不等式即可求得最大值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，设∠MON=θ，
由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{2}$，可得|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|cosθ=$\frac{1}{2}$，
即为b²cosθ=$\frac{1}{2}$，又cosθ=$\frac{2{b}^{2}-M{N}^{2}}{2{b}^{2}}$，
圆心E到直线的距离为d=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则MN²=（2$\sqrt{{b}^{2}-\frac{3}{4}}$）²=4b²-3，
解得b²=1，
又a²-b²=c²，
解得a²=2，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）令x=1，则y²=1-$\frac{1}{2}$，解得y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有|AB|=$\sqrt{2}$，
直线l₂：y=kx+m与圆E相切，则$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
即m²=1+k²，
将直线y=kx+m代入椭圆方程可得，
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
则有判别式16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
即为m²-1-2k²＜0，即-k²＜0，解得k≠0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=（-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$）²-4•$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{8（1+2{k}^{2}-{m}^{2}）}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$
=$\frac{8{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{8}{4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+4}$≤$\frac{8}{2\sqrt{4}+4}$=1，
当且仅当k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，取得等号．
则四边形APBQ的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•|x₁-x₂|
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|x₁-x₂|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则四边形APBQ的面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查直线和圆相切的条件：d=r，运用基本不等式求最值，属于中档题和易错题．