Question

20．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ+r．
（Ⅰ）求实数r的值和{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1-b_n=log₂a_n+1，求b_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（II）b_n+1-b_n=log₂a_n+1=n．利用“累加求和”可得b_n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=2ⁿ+r，
∴a₁=S₁=2+r，a₂=S₂-S₁=2，a₃=S₃-S₂=4．
∵数列{a_n}是等比数列，
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，即2²=4（2+r），
∴r=-1．
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵${a}_{n+1}={2}^{n}$，
∴b_n+1-b_n=log₂a_n+1=n．
当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（n-1）+（n-2）+…+（2-1）+1
=$\frac{（n-1）（n-1+1）}{2}$+1
=$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{1}{2}n$+1．
又n=1符合上式，
∴b_n=$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{1}{2}n$+1．

点评 本题主要考查了递推式、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，属于中档题．