Question

9．如图，已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，A₁、A₂分别为其左右顶点，过坐标原点且斜率为k（k≠0）的直线交双曲线C于P₁、P₂，则A₁P₁、A₁P₂、A₂P₁、A₂P₂这四条直线的斜率乘积为（　　）

• A． 8
• B． 2
• C． 6
• D． 4

Answer 1

分析 设点，利用斜率公式，结合离心率为$\sqrt{3}$，即可得出结论．

解答 解：设P₁（x，y），P₂（m，n），则
A₁P₁、A₁P₂、A₂P₁、A₂P₂这四条直线的斜率乘积为$\frac{y}{x+a}•\frac{n}{m+a}•\frac{y}{x-a}•\frac{n}{m-a}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}•\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$
=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$$•\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∵离心率为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$$•\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=4，
∴A₁P₁、A₁P₂、A₂P₁、A₂P₂这四条直线的斜率乘积为4，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．