Question

12．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，-1），B（π，-1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是$\frac{1+\sqrt{2}}{2π}$．

Answer 1

分析 利用定积分计算公式，算出曲线y=sinx与y=cosx围成的区域包含在区域D内的图形面积为S=2π，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率

解答 解：根据题意，可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域，
其面积为${∫}_{\frac{π}{4}}^{π}（sinx-cosx）dx$=（-cosx-sinx）|${\;}_{\frac{π}{4}}^{π}$=1-（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1+$\sqrt{2}$；
又矩形ABCD的面积为2π，
由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是$\frac{1+\sqrt{2}}{2π}$；
故答案为：$\frac{1+\sqrt{2}}{2π}$．

点评 本题给出区域和正余弦曲线围成的区域，求点落入指定区域的概率．着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识．