Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设集合A={x|x=2n+2，n∈N^*}，B={x|x=2a_n，n∈N^*}，等差数列{c_n}的任一项c_n∈A∩B，其中c₁是A∩B中的最小数，110＜c₁₀＜115，求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n=S_n-S_n-1计算并验证即可；
（Ⅱ）通过A、B间的包含关系可得c₁=6，从而可得${c_{10}}=4m+6（m∈{N^*}）$，利用110＜c₁₀＜115，可得c₁₀=114，根据等差数列的性质计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵${S_n}={n^2}+2n，（n∈{N^*}）$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
当n=1时，a₁=S₁=3满足上式，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1；
（Ⅱ）∵A={x|x=2n+2，n∈N^*}，B={x|x=4n+2，n∈N^*}，∴A∩B=B．
又∵c_n∈A∩B，其中c₁是A∩B中的最小数，∴c₁=6，
∵{c_n}的公差是4的倍数，∴${c_{10}}=4m+6（m∈{N^*}）$．
又∵110＜c₁₀＜115，
解得m=27，所以c₁₀=114，
设等差数列的公差为d，
则$d=\frac{{{c_{10}}-{c_1}}}{10-1}=\frac{114-6}{9}=12$，
∴c_n=6+（n-1）12=12n-6，
所以{c_n}的通项公式为c_n=12n-6．

点评 本题考查数列的基本性质，通项公式，集合的交集及其运算，注意解题方法的积累，属于中档题．