Question

4．在边长为1的菱形ABCD中，∠A=60°，E是线段CD上一点，满足|$\overrightarrow{CE}$|=2||$\overrightarrow{DE}$|，如图所示，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{BE}$；
（2）在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE？若存在，确定F点的位置，并求|$\overrightarrow{AF}$|；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据向量加、减法运算法则计算即可；
（2）设$\overrightarrow{BF}=t\overrightarrow{BC}=t\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{FC}=（1-t）\overrightarrow{b}$，（0≤t≤1），$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$，利用$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$、$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$及$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BE}$=0，计算即可．

解答 解：（1）根据题意得：$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{CE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{b}-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}$；
（2）结论：在线段BC上存在使得$4|\overrightarrow{BF}|=|\overrightarrow{BC}|$的一点F满足AF⊥BE，此时|$\overrightarrow{AF}$|=$\frac{\sqrt{21}}{4}$．
理由如下：
设$\overrightarrow{BF}=t\overrightarrow{BC}=t\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{FC}=（1-t）\overrightarrow{b}$，（0≤t≤1），
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$，
∵在边长为1的菱形ABCD中，∠A=60°，
∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos60°$=$\frac{1}{2}$，
∵AF⊥BE，
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{b}-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}$）
=$（1-\frac{2}{3}t）$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}$+$t{\overrightarrow{b}}^{2}$
=$（1-\frac{2}{3}t）$×$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{3}$+t
=0，
解得t=$\frac{1}{4}$，从而$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}$，
∴$|\overrightarrow{AF}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{AF}}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\frac{1}{16}{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{2}•\frac{1}{2}+\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{21}}{4}$．

点评 本题考查向量的加、减法运算法则，数量积运算，将线段垂直转化为向量垂直是解决本题的关键，属于中档题．