Question

15．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）若BD与平面PBC的所成角为30°，求二面角P-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AD⊥PB．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角P-BC-D的余弦值

解答 证明：（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，
由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠DAB=3AD²，
从而BD²+AD²=AB²，
∴∠ADB=90°，故BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，
可得PD⊥AD，
∴AD⊥平面PBD．
故AD⊥PB．
（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥BD，
∵AD⊥BD，
∴以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，
∵AB=2AD=2，∴AB=2，AD=1，
设DP=b，
则A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，b）．
∴$\overrightarrow{DB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{3}$，-b），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面PBC的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}y-bz=0}\end{array}\right.$，
令y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则x=0，z=$\frac{1}{b}$，
则$\overrightarrow{m}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{b}$），
∵BD与平面PBC的所成角为30°，
∴$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{DB}$的夹角为60°，
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{DB}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}+（\frac{1}{b}）^{2}}•\sqrt{3}}$=cos60°=$\frac{1}{2}$，
整理得b=1，
∴$\overrightarrow{m}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PAB的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-ax+\sqrt{3}ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}ay-az=0}\end{array}\right.$，
令y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则x=1，z=1，
即$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overline{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
即二面角P-BC-D的余弦值是-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题主要考查空间线面垂直的性质，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．