Question

10．已知 F₁，F₂分别是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点p在双曲线的右支上，且$\overrightarrow{{F_1}P}•（{\overrightarrow{O{F_1}}+\overrightarrow{OP}}）=0$（O为坐标原点），若$|{\overrightarrow{{F_1}P}}|=\sqrt{2}|{\overrightarrow{{F_2}P}}$|，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{{F_1}P}•（{\overrightarrow{O{F_1}}+\overrightarrow{OP}}）=0$，可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}⊥\overrightarrow{P{F}_{2}}$，设$|\overrightarrow{{F}_{2}P}|$=x，则$|\overrightarrow{{F}_{1}P}|$=$\sqrt{2}x$，利用勾股定理，求出x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$c，由双曲线的定义可得$\sqrt{2}$x-x=2a，代入即可得出结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{{F_1}P}•（{\overrightarrow{O{F_1}}+\overrightarrow{OP}}）=0$（O为坐标原点），
∴$|\overrightarrow{O{F}_{1}}|=|\overrightarrow{OP}|$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}⊥\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
设$|\overrightarrow{{F}_{2}P}|$=x，则$|\overrightarrow{{F}_{1}P}|$=$\sqrt{2}x$，
∴x²+2x²=4c²，
∴x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$c，
由双曲线的定义可得$\sqrt{2}$x-x=2a，
∴（$\sqrt{2}$-1）•$\frac{2}{\sqrt{3}}$c=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．