Question

20．已知函数f（x）=|x-5|+|x-3|．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若正实数a，b足$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\sqrt{3}$，求证：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$≥m．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（x）=|x-5|+|x-3|≥|x-5+3-x|=2求函数f（x）的最小值m；
（Ⅱ）利用柯西不等式，即可证明．

解答 （Ⅰ）解：∵f（x）=|x-5|+|x-3|≥|x-5+3-x|=2，…（2分）
当且仅当x∈[3，5]时取最小值2，…（3分）
∴m=2．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$）[${1}^{2}+（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}$]≥（$\frac{1}{a}×1+\frac{\sqrt{2}}{b}×\frac{1}{\sqrt{2}}$）²=3，
∴（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$）×$\frac{3}{2}$≥（$\sqrt{3}$）²，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$≥2．…（7分）

点评 本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．