Question

8．若O是△ABC的重心，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=-2，A=120°，则|$\overrightarrow{AO}$|的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 根据已知条件容易得到$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=4$，O是△ABC的重心，而重心是中线的交点，从而可得到$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），从而可得到${\overrightarrow{AO}}^{2}=\frac{1}{9}（|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}-4）$，由基本不等式即可得到$|\overrightarrow{AO}|≥\frac{2}{3}$，从而求得$|\overrightarrow{AO}|$的最小值．

解答 解：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=-2$，A=120°；
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=4$；
O是△ABC的重心；
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
∴${\overrightarrow{AO}}^{2}=\frac{1}{9}（{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}-4）$$≥\frac{1}{9}（2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|-4）=\frac{4}{9}$；
∴$|\overrightarrow{AO}|≥\frac{2}{3}$；
∴$|\overrightarrow{AO}|$的最小值为$\frac{2}{3}$．
故选C．

点评 考查数量积的计算公式及其运算，重心的定义，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及基本不等式用于求最值，以及要求$|\overrightarrow{AO}|$的范围先求${\overrightarrow{AO}}^{2}$范围的方法．